<br><br><div class="gmail_quote">On Sun, Apr 6, 2008 at 2:34 PM, Alan G Isaac &lt;<a href="mailto:aisaac@american.edu">aisaac@american.edu</a>&gt; wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
<div class="Ih2E3d">On Sun, 6 Apr 2008, Charles R Harris wrote:<br>
&gt; The boolean &nbsp;algebra is a field and the correct addition is xor, which is<br>
&gt; the same as addition modulo 2. This makes all matrices with determinant 1<br>
&gt; invertible. This isn&#39;t the current convention, however, as it was when<br>
&gt; Caratheodory was writing on measures and rings of sets were actually rings<br>
&gt; and the symmetric difference was used instead of union.<br>
<br>
</div>I am not sure what you are suggesting for matrix behavior,<br>
nor what &quot;correct&quot; means here.<br>
<br>
Comment:<br>
Standard *boolean algebra* axioms include distributivity, but<br>
1 xor (0 and 0) = 1 xor 0 = 1<br>
(1 xor 0) and (1 xor 0) = 1 and 1 = 1<br>
<br>
So I guess (?) what you are saying is something like:<br>
if we have a boolen algebra with operators &#39;and&#39; and &#39;or&#39;,<br>
we can generate a boolean ring with operations &#39;xor&#39; and &#39;and&#39;.<br>
When we do so, the &#39;+&#39; is traditionally used for the &#39;xor&#39; operation.<br>
<br>
But where in the modern literature on boolean matrices is<br>
&#39;+&#39; given this interpretation?<br>
</blockquote><div><br>It&#39;s generally not. It used to be that \Sigma and + were used for set union, probably because that was what the printers had on hand and what the mathematicians were used to. Then there was the alternate desire to make boolean algebra conform to the standad ring structure which led to using the symmetric difference, \Delta. For instance, if + is &#39;or&#39;, then 1 has no additive inverse, whereas 1 xor 1 = 0. I&#39;m just pointing to some of the history here that I&#39;ve noticed in old papers. I prefer the modern usage myself as it is closer to the accepted logic operations, but applying algebraic manipulations like powers and matrix inverses in that context leads to strange results.<br>
<br>Chuck<br></div></div><br>